二维 Sinh-Poisson 方程多重爆裂解的 Morse 指标

在本文中，我们考虑 Dirichlet 问题 \begin{equation} \label{iniz} \begin{cases} -\Delta u = \rho^2 (e^{u} - e^{-u}) & \text{ in } \Omega\\ u=0 & \text{ on } \partial \Omega, \end{cases} \end{equation} 其中 $\rho$ 是一个小参数，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的 $C^2$ 有界区域。[1] 证明了 $m$ 点爆裂解 $u_\rho$ 的存在性及其渐近行为。我们根据该问题的关联 Hamilton 函数的 Morse 指标来计算 $u_\rho$ 的 Morse 指标。此外，我们对前 $4m$ 个特征值与特征函数给出了渐近估计。