Ginzburg-Landau近似的Morse指数稳定性

本文研究了Dirichlet能量到球面的Ginzburg-Landau扰动$E_\varepsilon(u):=\int_\Sigma \frac{1}{2}|du|^2_h\ \,dvol_h +\frac{1}{4\varepsilon^2}(1-|u|^2)^2\,dvol_h=\int_{\Sigma}e_{\varepsilon}(u)$的临界点的行为。我们的第一个主要结果是在紧致性失效的区域给出了$e_\varepsilon(u_k)$的精确逐点估计，这也蕴含了气泡过程中的$L^{2,1}$量子化。第二个主要结果是将与T. Rivière合作的前期工作中发展的方法应用于研究$E_{\epsilon}$临界点序列的扩展Morse指数的上半连续性：给定一个在气泡树意义下收敛到调和映射$u_\infty\in W^{1,2}(\Sigma,{S}^{n})$和气泡$v^i_{\infty}:\mathbb{R}^2\to {S}^{n}$的临界点序列$u_{\varepsilon_k}:\Sigma\to \mathbb{R}^{n+1}$，我们证明对于足够大的$k$，映射$v^i,u_\infty$的扩展Morse指数控制了序列$u_{\varepsilon_k}$的扩展Morse指数。