通过能量估计研究圆盘上的 Moser-Trudinger 不等式及其极值函数

我们研究 $\mathbb{R}^2$ 中单位圆盘上 Moser-Trudinger 不等式的非负径向对称临界点 $u_\mu$ 的 Dirichlet 能量，并证明当 $\mu\to\infty$ 时，其能量展开为 $$4\pi+\frac{4\pi}{\mu^{4}}+o(\mu^{-4})\le \int_{B_1}|\nabla u_\mu|^2dx\le 4\pi+\frac{6\pi}{\mu^{4}}+o(\mu^{-4}),$$ 其中 $\mu=u_\mu(0)$ 是 $u_\mu$ 的最大值。作为推论，我们获得了 Moser-Trudinger 不等式、Carleson-Chang 关于极值函数存在性的结果，以及 Struwe 和 Lamm-Robert-Struwe 在超临界区域的多重性结果（仅在单位圆盘情形下）的新证明。我们的结果在 Moser-Trudinger 泛函的足够弱扰动下是稳定的。我们明确识别了扰动的临界水平，对于该水平，尽管受扰动的 Moser-Trudinger 不等式仍然成立，但其临界点的能量从下方收敛到 $4\pi$。我们预期，在其中一些情形下，极值函数的存在性不成立，超临界区域中临界点的存在性也不成立。