Adimurthi-Druet 不等式极值函数的不存在性

Adimurthi-Druet [1] 不等式是通过添加一个 $L^2$ 型扰动对标准 Moser-Trudinger 不等式的改进，该扰动由 $\alpha\in [0,\lambda\_1)$ 量化，其中 $\lambda\_1$ 是 $\Delta$ 在光滑有界区域上的第一 Dirichlet 特征值。已知 [3,9,13,18] 当扰动参数 $\alpha$ 较小时，该不等式存在极值函数。相比之下，我们在此证明当扰动参数 $\alpha$ 趋近于 $\lambda\_1$ 时，Adimurthi-Druet 不等式不存在任何极值。我们的结果基于对应 Euler-Lagrange 方程解爆破序列的 Dirichlet 能量的尖锐展开，其考虑了当 $\alpha\to \lambda\_1$ 时问题变为奇异的这一事实。