平均曲率方程极值解的存在性与正则性

我们研究了一类平均曲率方程$-\mathcal Mu=H+\lambda u^p$，其中$\mathcal M$表示平均曲率算子，且$p\geq 1$。我们证明存在一个极值参数$\lambda^*$，使得该方程对所有$\lambda \in [0,\lambda^*]$存在一个最小弱解，而当$\lambda >\lambda^*$时不存在弱解（弱解定义为某个合适泛函的临界点）。在径向对称情形下，我们进一步证明对所有$\lambda\in [0,\lambda^*]$，最小弱解是经典解，并且在$\lambda^*$的邻域$(\lambda_*-\eta,\lambda^*)$中存在另一支经典解。