Dirichlet 情形下二维 Euler-$\alpha$方程向 Euler 方程的收敛性：对边界层的无关性

本文考虑将 Euler-$\alpha$系统作为光滑二维有界域中不可压缩 Euler 方程的正则化方法。对于极限 Euler 系统，我们采用通常的无穿透边界条件；而对于 Euler-$\alpha$正则化，我们使用边界处速度为零的条件。我们还假设 Euler-$\alpha$系统的初始速度在正则化参数$\alpha \to 0$时，以适当的方式逼近极限 Euler 系统的初始速度。对于较小的$\alpha$值，这种情况会导致边界层的产生，这也是本文关注的主要问题。我们的主要结果是，在适当的正则性假设下，尽管存在该边界层，当$\alpha \to 0$时，Euler-$\alpha$系统的解在空间$L^2$范数下一致地收敛于 Euler 方程的相应解。我们还给出了一个涉及平行流的例子，以说明$\alpha \to 0$极限对边界层的无关性，这正是本文工作的基础。