有界域上三维欧拉方程弱解压力的 Hölder 正则性

我们考虑有界域 $\Omega$ 上带有 $C^4$ 边界的三维不可压缩欧拉方程。我们证明，若速度场 $u \in C^{0,\alpha} (\Omega)$（其中 $\alpha > 0$，此处略去时间依赖性），则欧拉方程弱解的相应压力 $p$ 属于 Hölder 空间 $C^{0, \alpha} (\Omega)$。我们还证明，在远离边界处 $p$ 具有 $C^{0,2\alpha}$ 正则性。为证明这些结果，我们使用边界的局部参数化，以及如 [C. Bardos and E.S. Titi, Philos. Trans. Royal Soc. A, 380 (2022), 20210073] 中引入的弱解压力边界条件的极弱形式，该形式不同于欧拉方程经典解常用的边界条件。此外，我们给出一个显式例子，说明这种新的压力边界条件极弱形式的必要性。进一步，我们还严格推导了欧拉方程弱解该新边界条件形式。此结果对 Onsager 猜想前半部分（三维不可压缩欧拉方程弱解能量守恒的充分条件）的证明具有重要意义。特别地，本文结果消除了在 Onsager 猜想证明中对压力单独正则性假设的必要性。