锥型 Moser-Trudinger 不等式及其应用

在本文中，我们首先研究了有界与无界域 $\mathbb{R}^2_{+}$ 上的锥型 Moser-Trudinger 不等式及其最佳指数 $\alpha_2$。然后，利用锥型 Moser-Trudinger 不等式，我们研究非线性方程 \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta_{\mathbb{B}} u=f(x, u), &\mbox{in}\ x\in \mbox{int} (\mathbb{B}), \ u= 0, &\mbox{on}\ \partial\mathbb{B}, \end{array} \right. \end{equation*} 弱解的存在性，其中 $\Delta_{\mathbb{B}}$ 是在边界 $x_1 =0$ 上具有全特征退化的 Fuchsian 型拉普拉斯算子，非线性项 $f$ 具有次临界指数增长或临界指数增长。