关于有限图上的一类非线性薛定谔方程

设$G=(V, E)$是以顶点集$V$和边集$E$为元素的有限图。令$\Delta$为通常的图拉普拉斯算子。考虑图$G$上如下形式的非线性薛定谔型方程 $$\left \{ \begin{array}{lcr} -\Delta u-\alpha u=f(x,u),\\ u\in W^{1,2}(V),\\ \end{array} \right.$$ 其中$f(x,u):V\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$为非线性函数，$\alpha$为参数。首先，我们证明图$G$上的Trudinger-Moser不等式，并在假设$G$满足曲率-维数型不等式$CD(m, \xi)$的条件下，证明图$G$上的一个积分不等式。然后利用这两个不等式，我们证明当$\alpha<\frac{2\lambda^{2}}{m(\lambda-\xi)}$（其中$\lambda$为图拉普拉斯算子的特征值）时，该非线性薛定谔型方程存在正解。我们的工作对先前结果给出了显著改进。