图上 Kazdan-Warner 方程在负情形下的多解

设 $G=(V,E)$ 为有限连通图，$\kappa: V\rightarrow \mathbb{R}$ 为满足 $\int_V\kappa d\mu<0$ 的函数。我们考虑 $G$ 上的如下 Kazdan-Warner 方程：$$\Delta u+\kappa-K_\lambda e^{2u}=0,$$ 其中 $K_\lambda=K+\lambda$，$K: V\rightarrow \mathbb{R}$ 为非常值函数且满足 $\max_{x\in V}K(x)=0$，$\lambda\in \mathbb{R}$。通过变分方法，我们证明存在 $\lambda^*>0$，使得当 $\lambda\in(-\infty,\lambda^*]$ 时上述方程有解，而当 $\lambda\geq \lambda^\ast$ 时无解。特别地，若 $\lambda\leq 0$ 则仅有唯一解；若 $0<\lambda<\lambda^*$ 则至少有两个不同解；若 $\lambda=\lambda^\ast$ 则至少有一个解。该结果补充了 Grigor'yan-Lin-Yang \cite{GLY16} 的早期工作，并被视为 Ding-Liu \cite{DL95} 与 Yang-Zhu \cite{YZ19} 在流形上结果的离散类比。