紧致黎曼曲面上的一类 Kazdan-Warner 方程解的存在性

设 $(\Sigma,g)$ 为无边界的紧致黎曼曲面，$\lambda_1(\Sigma)$ 为 Laplace-Beltrami 算子 $\Delta_g$ 的第一特征值。设 $h$ 为 $\Sigma$ 上的正光滑函数。在函数空间 $\mathcal{H}=\left\{u\in W^{1,2}(\Sigma): \int_\Sigma udv_g=0\right\}$ 上定义泛函 $$J_{\alpha,\beta}(u)=\frac{1}{2}\int_\Sigma(|\nabla_gu|^2-\alpha u^2)dv_g-\beta\log\int_\Sigma he^udv_g$$。若 $\alpha<\lambda_1(\Sigma)$ 且 $J_{\alpha,8\pi}$ 在 $\mathcal{H}$ 上无最小化子，则我们利用爆破分析方法计算 $J_{\alpha,8\pi}$ 在 $\mathcal{H}$ 上的下确界。作为推论，我们给出了 Kazdan-Warner 方程存在解的一个充分条件。若 $\alpha\geq \lambda_1(\Sigma)$，则 $\inf_{u\in\mathcal{H}}J_{\alpha,8\pi}(u)=-\infty$。若 $\beta>8\pi$，则对任意 $\alpha\in\mathbb{R}$，均有 $\inf_{u\in\mathcal{H}}J_{\alpha,\beta}(u)=-\infty$。此外，我们还考虑了 $\alpha$ 较大且涉及高阶特征值的同类问题。