紧黎曼曲面上的奇异 Kazdan-Warner 问题

设 $(M,g)$ 为单位面积的紧黎曼曲面，$h\in C^{\infty}(M)$ 为在某处为正的函数，$\rho>0$，$p_i\in M$ 且 $\alpha_i\in(-1,+\infty)$（$i=1,\cdots,\ell$），我们考虑 $M$ 上的平均场方程 \begin{align*} \Delta v + 4\pi\sum_{i=1}^{\ell}\alpha_i\left(1-\delta_{p_i}\right) = \rho\left(1-\frac{he^v}{\int_Mhe^vd\mu}\right), \end{align*} 其中 $\Delta$ 和 $d\mu$ 分别为 $(M,g)$ 的 Laplace-Beltrami 算子和面积元。利用变分法和爆破分析，我们证明了在临界情形 $\rho=8\pi(1+\min\{0,\min_{1\leq i\leq\ell}\alpha_i\})$ 下的若干存在性结果。这些结果可视为 Chen-Li（J. Geom. Anal. 1: 359--372, 1991）、Ding-Jost-Li-Wang（Asian J. Math. 1: 230--248, 1997）、Mancini（J. Geom. Anal. 26: 1202--1230, 2016）、Yang-Zhu（Proc. Amer. Math. Soc. 145: 3953--3959, 2017）、Sun-Zhu（arXiv:2012.12840）和 Zhu（arXiv:2212.09943）工作的部分推广。特别地，我们证明了爆破（若发生）必发生于锥角最小且 $h$ 为正的点，这是我们论文最重要的贡献。