闭黎曼面上广义平均场方程的存在性结果

设$\Sigma$为闭黎曼面，$h$为$\Sigma$上的正光滑函数，$\rho$和$\alpha$为实数。本文研究广义平均场方程 \begin{align*} -\Delta u=\rho\left(\dfrac{he^u}{\int_\Sigma he^u}-\dfrac{1}{\mathrm{Area}\left(\Sigma\right)}\right)+\alpha\left(u-\fint_{\Sigma}u\right), \end{align*} 其中$\Delta$表示Laplace-Beltrami算子。我们首先在$\rho\in (8k\pi, 8(k+1)\pi)$（对某个非负整数$k\in \mathbb{N}$）且$\alpha\notin\mathrm{Spec}\left(-\Delta\right)\setminus\set{0}$时导出解的一致估计。然后利用Leray-Schauder度理论和极小极大方法，对$\alpha<\lambda_1\left(\Sigma\right)$获得存在性结果，其中$\lambda_1\left(\Sigma\right)$为$-\Delta$的第一个正特征值。