关于双参数平均场方程的拓扑度

我们考虑紧致曲面 $M$ 上具有以下指数非线性类的方程：$$- \Delta u = \rho_1 \left( \frac{h_1 \,e^{u}}{\int_M h_1 \,e^{u} } - \frac{1}{|M|} \right) - \rho_2 \left( \frac{h_2 \,e^{-u}}{\int_M h_2 \,e^{-u} } - \frac{1}{|M|} \right),$$ 其关联于具有任意符号涡旋的平衡湍流的均值场方程。这里 $h_1, h_2$ 是光滑正函数，$\rho_1, \rho_2$ 是两个正参数。我们首先证明上述方程的集中现象，从而在 $\rho_i\notin 8\pi\mathbb{N}, \, i=1,2$ 时导出该问题解的先验界。然后我们研究当 $\rho_1$ 跨越 $8\pi$ 且 $\rho_2 \notin 8\pi\mathbb{N}$ 时的爆破行为。通过对上述方程进行合适的分解，并利用为 $SU(3)$ Toda 系统引入的影子系统，我们可以计算 $\rho_1 \in (0,8\pi) \cup (8\pi,16\pi)$ 且 $\rho_2 \notin 8\pi\mathbb{N}$ 时的Leray-Schauder拓扑度。作为我们论证的副产品，我们给出了当底流形为球面时的新存在性结果，以及对某些已知存在性结果的新证明。