$SU(3)$ Toda 系统的度数计数与阴影系统：单气泡

在此，我们启动了计算 $SU(3)$ Toda 系统的 Leray-Schauder 拓扑度数的程序。该程序对分析学家而言仍包含许多极具挑战性的问题。我们方法的第一步是回答集中现象是否成立。在本文中，我们证明了当 $\rho_1$ 跨越 $4\pi$ 且 $\rho_2\notin 4\pi\mathbb{N}$ 时，集中现象成立。然而，对于 $\rho_1\geq 8\pi$，集中现象是否成立的问题迄今为止仍未解决。第二步是研究相应的阴影系统及其度数计数公式。最后一步是通过阴影系统的非退化解构造 $SU(3)$ Toda 系统的气泡解。利用这一构造，我们成功计算了 $\rho_1\in(0,4\pi)\cup(4\pi,8\pi)$ 且 $\rho_2\notin 4\pi\mathbb{N}$ 时的度数。