带奇异源的$SU(n+1)$ Toda系统的分类与非退化性

我们考虑如下Toda系统：\n$$\Delta u_i + \sum_{j = 1}^n a_{ij}e^{u_j} = 4\pi\gamma_{i}\delta_{0} \quad \text{在} \; \mathbb R^2 \; \text{中}, \quad \int_{\mathbb R^2}e^{u_i} dx < \infty, \quad \forall 1\leq i \leq n,$$\n其中 $\gamma_{i} > -1$，$\delta_0$ 是0处的Dirac测度，系数 $a_{ij}$ 构成标准的三对角Cartan矩阵。在本文中，(i) 我们对解进行了完全分类，并得到了量子化结果：\n$$\sum_{j=1}^n a_{ij}\int_{\mathbb R^2}e^{u_j} dx = 4\pi (2+\gamma_i+\gamma_{n+1-i}), \quad \forall\; 1\leq i \leq n.$$\n这推广了Jost和Wang对 $\gamma_i=0$（对所有 $1\leq i\leq n$）的分类结果。(ii) 我们证明，若对所有 $1\leq i\leq j\leq n$ 有 $\gamma_i+\gamma_{i+1}+\cdots+\gamma_j \notin \mathbb Z$，则任何解 $u_i$ 关于0是径向对称的。(iii) 我们证明，在任何解处的线性化方程是非退化的。这些是理解Toda系统冒泡行为的基本结果。