关于带任意奇点的二阶 Toda 系统：局部质量与新估计

对于带有任意奇异源的所有二阶 Toda 系统，我们使用统一的方法证明：（i）在每个爆破点处的局部质量对 $(\sigma_1,\sigma_2)$ 具有表达式 $$\sigma_i=2(N_{i1}\mu_1+N_{i2}\mu_2+N_{i3}),$$ 其中 $N_{ij}\in\mathbb{Z},~i=1,2,~j=1,2,3$。（ii）假设在每个涡旋点 $p_t$ 处，$(\alpha_1^t,\alpha_2^t)$ 为整数且 $\rho_i\notin 4\pi\mathbb{N}$，则 Toda 系统的所有解均一致有界。（iii）如果爆破点 $q$ 不是涡旋点，则 $$u^k(x)+2\log|x-x^k|\leq C,$$ 其中 $x^k$ 是 $q$ 附近 $u^k$ 的局部极大值点。（iv）如果爆破点 $q$ 是涡旋点 $p_t$ 且 $\alpha_t^1$、$\alpha_t^2$ 与 $1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关，则 $$u^k(x)+2\log|x-p_t|\leq C.$$ （iii）或（iv）的 Harnack 型不等式对于研究每个爆破点附近的 bubbling 行为非常重要。