符号变化预设函数的 Toda 系统存在性结果：第一部分

设 (M,g) 为面积为 1 的紧致黎曼曲面，我们将研究 Toda 系统 $$\begin{cases} -\Delta u_1 = 2\rho_1(h_1e^{u_1}-1) - \rho_2(h_2e^{u_2}-1),\ -\Delta u_2 = 2\rho_2(h_2e^{u_2}-1) - \rho_1(h_1e^{u_1}-1), \end{cases}$$ 在 (M,g) 上，其中 $\rho_1=4\pi$，$\rho_2\in(0,4\pi)$，$h_1$ 和 $h_2$ 是 M 上的两个光滑函数。在 Jost-Lin-Wang 的杰出文章 (Comm. Pure Appl. Math., 59 (2006), no. 4, 526--558) 中，他们在 $h_1$ 和 $h_2$ 均为正数时获得了该 Toda 系统存在性的充分条件。在本文中，我们将此结果扩展到 $h_1$ 和 $h_2$ 可为负数的情形。我们将采用变分方法并使用标准的 blowup 分析。其中我们证明的主要贡献在于显示 blowup 只能发生在 $h_1$ 为正的点上。