关于 Ding-Jost-Li-Wang 结果的一个注记

设 $(M,g)$ 为无边紧致黎曼曲面，$W^{1,2}(M)$ 为通常的 Sobolev 空间，$J: W^{1,2}(M)\rightarrow \mathbb{R}$ 为由 $$J(u)=\frac{1}{2}\int_M|\nabla u|^2dv_g+8\pi \int_M udv_g-8\pi\log\int_Mhe^udv_g,$$ 定义的泛函，其中 $h$ 为 $M$ 上的正光滑函数。在一项启发性的工作（Asian J. Math., vol. 1, pp. 230-248, 1997）中，Ding、Jost、Li 和 Wang 给出了 $J$ 取得最小值的一个充分条件。在本文中，我们证明如果光滑函数 $h$ 满足 $h\geq 0$ 且 $h\not\equiv 0$，则上述结果仍然成立。我们的方法是排除 $h$ 零点集上的爆破点。