非紧 3-流形中极小化曲率泛函的浸入球面的存在性

我们研究了无边界非紧三维黎曼流形 $(M,h)$ 中浸入 2-球面的曲率泛函。首先，假设 $(M,h)$ 是赋予半扰动度规的欧几里得 3-空间，其扰动在 $C^1$ 范数下很小且具有紧支集，我们证明如果存在某点 $\bar{x} \in M$ 使得标量曲率 $R^M(\bar{x})>0$，则存在光滑嵌入 $f:S^2 \hookrightarrow M$ 极小化 Willmore 泛函 $1/4\int |H|^2$，其中 $H$ 为平均曲率。其次，假设 $(M,h)$ 具有有界几何（即有界截面曲率和严格正的内射半径）且渐近欧几里得或双曲，我们证明如果存在某点 $\bar{x} \in M$ 使得标量曲率 $R^M(\bar{x})>6$，则存在光滑浸入 $f:S^2 \hookrightarrow M$ 极小化泛函 $\int (1/2|A|^2+1)$，其中 $A$ 为第二基本形式。最后，在最后这些假设基础上增加 bound $K^M \leq 2$，我们获得了泛函 $\int (1/4|H|^2+1)$ 的光滑极小元 $f:S^2 \hookrightarrow M$。最后两个定理的假设适用于一大类 3-流形，这些流形作为零或负宇宙学常数情况下爱因斯坦真空方程的类空时间片解而出现。