紧黎曼流形中的威尔莫球面

本文致力于对二维曲面浸入到紧黎曼 m-流形 (M^m,h)（其中 m>2）中的威尔莫泛函及其他 L^2 曲率泛函进行变分分析。本文的目标有两个方面：一方面，我们为在流形浸入情形下对此类泛函进行变分学计算（包括极小极大方法）提供正确的框架；另一方面，我们在各种约束条件（指定同伦类、指定面积）或对 M^m 的曲率假设下，证明了可能带分支的威尔莫球面的存在性结果。为此，我们利用补偿可积性，首先发展了此类泛函临界点的正则性理论。然后，我们证明了关于常平均曲率球面与威尔莫球面之间关系的刚性定理。接着，我们证明，对于每一个非平凡的 2-同伦类，都存在一个代表元，它由一个从 2-球面到 M^m 的 Lipschitz 映射给出，该映射实现了一个连通的共形光滑（可能带分支）面积约束威尔莫球面族（正如引言中所解释的，这可以看作是 Sacks 和 Uhlembeck 在 \cite{SaU} 中所构造的同伦类中的极小浸入球面在它们不存在的情形下的自然推广）。此外，对于每个 A>0，我们在具有指定总面积等于 A 的 2-球面的弱、可能带分支的浸入的连通族中极小化威尔莫泛函，并证明了极小化子的完全正则性。最后，在 (M^m,h) 的一个温和曲率条件下，我们在 2-球面的弱、可能带分支的浸入中极小化面积与第二基本形式的 L^2 范数的平方之和，并证明了极小化子的正则性。