Willmore 曲面的分析性质

我们为 ${\R}^m$ 中浸入曲面的 Willmore 泛函的 Euler-Lagrange 方程找到了一个新的表述。这一新的 Willmore 方程表述呈现为散度形式，并且其非线性项由雅可比矩阵构成。此外，若 $\bH$ 表示曲面的平均曲率向量，这一新形式写作 ${\mathcal L}\bH=0$，其中 ${\mathcal L}$ 是一个定义良好的局部可逆自伴算子。这 3 个事实在 Willmore 曲面的分析中有众多推论。第一个推论是，为仅有 $L^2$ 有界第二基本形式的浸入赋予 Willmore Euler-Lagrange 方程意义的长期开放问题现在得以解决。然后我们建立了对任意 $p$（使得高斯映射连续：$p>2$）的弱 $W^{2,p}-$Willmore 曲面的正则性。这基于对一个弱 Willmore 曲面的 $\epsilon-$正则性结果的证明。随后我们建立了对能量小于 $8\pi-\delta$（任意 $\delta>0$）的 Willmore 曲面的弱紧性结果。该定理基于我们为 ${\R}^m$ 中 Wilmore 曲面证明的一个可去点结果。这一结果将 E.Kuwert 和 R.Schaetzle 为 ${\R}^3$ 中曲面建立的结论推广到了任意余维数。最后，由该可去点结果我们推出了在维数 3 和 4 中能量水平 $8\pi-\delta$ 以下的 Willmore 环面在 M"obius 群作用模意义下的强紧性。维数 3 的情形已在先前工作中解决。