Willmore能量与曲率集中

我们研究将黎曼曲面$(\Omega, \mathfrak{g})$，其中$\Omega \subset \mathbb{R}^2$，等距浸入到$\mathbb{R}^3$中的问题。我们考虑其弯曲能量，即第二基本形式的$L^2$范数的平方，这等价于Willmore泛函。我们获得了该能量的两个新下界，一个用曲面的高斯曲率表示，另一个用Burgers向量表示——这是与扭转相关的非平坦度量。这些新估计在曲率集中时（例如在锥几何中）给出了能量的最优爆破率。在曲率集中的偶极子更微妙的情况下，我们利用Burgers向量估计以系统尺寸获得最优爆破率。我们的动机来自非欧几里得弹性，其中锥和曲率偶极子扮演核心角色。本工作中推导的下界直接给出了薄弹性片弹性能的下界。曲率下界的推导涉及一个针对有框环的等周不等式，我们认为其具有独立意义。