嵌入的 Delaunay 环面及其 Willmore 能量

构造了欧几里得三维空间中一族嵌入的旋转对称环面，该环面由两片符号相反的常平均曲率曲面组成，并作为 varifold 收敛到一个双重圆球面。利用完全椭圆积分，证明了它们的 Willmore 能量严格低于 $8\pi$。将此严格不等式与 Keller-Mondino-Rivière 及 Mondino-Scharrer 的先前工作相结合，可得出结论：对任意等周比，均存在在等周约束下极小化 Willmore 泛函的光滑嵌入环面，从而完成了环面的等周约束 Willmore 问题的求解。类似地，我们推得了在较小自发曲率下极小化 Helfrich 泛函的光滑嵌入环面的存在性。此外，证明了这些环面在模空间中退化，这也给出了对共形约束 Willmore 问题的一个应用。最后，由于其对称性，Delaunay 环面可用于构造高等周比的球面，从而为零亏格情形的已知结果提供了另一种证明。