浸入环面的标架能量及其在正则同伦类中的应用

本文致力于研究浸入欧几里得 $3\leq m$ 维空间的二维环面上移动标架的 Dirichlet 能量。这个称为标架能量 (Frame energy) 的泛函自然地与浸入的 Willmore 能量以及抽象底层曲面的共形结构相关联。作为第一个结果，我们建立了一个 Willmore 猜想类型的下界：即对于浸入 $\R^m$ ($m\geq 3$) 的任意环面及其上的任意移动标架，标架能量至少为 $2\pi^2$，且等号成立当且仅当 $m\geq 4$，浸入为标准 Clifford 环面（至多相差旋转和伸缩），且标架是平坦的。在发现隐藏的守恒律后，我们证明了标架能量临界点的光滑性，并作为应用，完成了 $\R^3$ 中浸入环面正则同伦类中标架能量的最小化。