$3$-球中 Hopf 环面的 Willmore 流

在本文中，作者研究了经典 Willmore 流的流线，其始于 $\mathbb{S}^3$ 中 Hopf 环面的一个光滑参数化处的运动。我们证明任意这样的 Willmore 流流线整体存在，特别地不发展出任何奇点，并且在每个 $C^{m}$ 范数下子收敛于某个光滑 Willmore-Hopf 环面。此外，若进一步要求初始浸入 $F_0$ 的 Willmore 能量小于或等于阈值 $\frac{8\pi^2}{\sqrt{2}}$，则始于 $F_0$ 运动的 Willmore 流的唯一流线在每个 $C^{m}$ 范数下（模依赖于时间的光滑重新参数化）完全收敛于一个共形变换的 Clifford 环面。证明的关键工具包括：Hopf 纤维化 $\pi:\mathbb{S}^3 \longrightarrow \mathbb{S}^2$ 关于 Willmore 能量 $L^2$-梯度作用于 $\mathbb{S}^3$ 中光滑 Hopf 环面与 $\mathbb{S}^2$ 中光滑闭正则曲线之效应的等变性质、一个特定版本的 Lojasiewicz-Simon 梯度不等式，以及可追溯到 80 年代的、用 Jacobi 椭圆函数与椭圆积分对弹性能量泛函欧拉-拉格朗日方程之光滑弧长参数化解的分类与描述。