R^n 中 Möbius 不变 Willmore 流的函数分析性质与正则性

在本文中，我们继续作者关于 $\mathbb{R}^n$ 与 $n$ 维球面 $\mathbb{S}^n$ 中无脐环面参数化的 Möbius 不变 Willmore 流的研究。在本文的主要定理中，我们结合作者关于该课题的结果，以及 Amann、Denk、Duong、Hieber、Prüss 和 Simonett 关于线性椭圆算子的“有界 $\mathcal{H}_{\infty}$-演算”理论，和 Amann 与 Lunardi 关于半群与插值理论的工作，证明了 Möbius 不变 Willmore 流的“DeTurck 修正”的演化算子及其 Fréchet 导数的基本性质。确切地说，对于任意 $p\in (3,\infty)$，关于 $\mathbb{R}^n$ 中任一紧致无脐环面的固定光滑参数化 $F_0:\Sigma \longrightarrow \mathbb{R}^n$，我们证明了 Möbius 不变 Willmore 流的“DeTurck 修正”的演化算子 $[F\mapsto \mathcal{P}^*(\,\cdot\,,0,F)]$ 在 $W^{4-\frac{4}{p},p}(\Sigma,\mathbb{R}^n)$ 中一个小开球内的局部实解析性。我们进一步证明，从光滑无脐初始浸入 $F_0$ 开始运动的整条极大流线 $\mathcal{P}^*(\,\cdot\,,0,F_0)$ 在正时刻是实解析的，因此演化算子在 $F_0$ 处的 Fréchet 导数 $D_{F}\mathcal{P}^*(\,\cdot\,,0,F_0)$ 可唯一延拓为 $L^p(\Sigma,\mathbb{R}^n)$ 中一族连续线性算子 $G^{F_0}(t_2,t_1)$，其值域在 $L^{p}(\Sigma,\mathbb{R}^n)$ 中稠密，对极大存在区间 $(0,T_{max}(F_0))$ 内每一固定时刻对 $t_2\geq t_1$ 成立。