torus 上的 Willmore 流的维数约化：固定共形类别与奇点的分析

本文通过维数约化方法研究 torus 上的 Willmore 流及其奇点。我们引入一种保持 prescribed 共形类别保持的退化约束的 Willmore 流，并对于具有旋转对称性的初始数据，建立了与平坦曲面上保长弹性流的强关联。我们给出奇点的必要条件，并给出允许排除奇点的初始数据的判据。我们的结果允许初始数据具有任意大的能量，特别是超过常用的 Li-Yau 阈值的 $8\pi$。作为应用，我们获得了一类受共形约束的 Willmore torus 的存在性。此外，我们进一步研究经典 Willmore 流的奇点。对于一类 torus，我们识别出一种非光滑对象——倒置的圆柱面（inverted catenoid）作为极限形状，并证明该流可以在该奇异曲面上重新启动并收敛到圆球。