具狄利克雷边界条件的 Willmore 流的收敛性

关于具狄利克雷边界条件的曲面的 Willmore 流，目前所知甚少。我们考虑以具有旋转对称性的曲面为初值数据，并证明了对低于一个显式尖锐能量阈值的初值数据，具狄利克雷边界条件的 Willmore 流解的全局存在与收敛结果。引人注目的是，该阈值依赖于给定的边界条件——它甚至可以被取为 $0$。我们通过构造高于该能量阈值的曲面，使得相应的 Willmore 流产生奇点，从而对某些临界边界数据证明了阈值的最优性。最后，证明了 $\mathbb{H}^2$ 中开曲线的一个 Li-Yau 不等式。