通过 Simon 的 Li-Yau 不等式实现带边界 Willmore 流的全局存在性

众所周知，若初始数据的 Willmore 能量低于 $8\pi$（即所有闭浸入均为嵌入的 Li-Yau 能量阈值），则闭球面浸入的 Willmore 流在时间上全局存在并收敛。通过 Simon 单调性公式将闭曲面的 Li-Yau 不等式推广至具有 Dirichlet 边界条件的带边界曲面，可获得一个能量阈值 $C_{\mathrm{LY}}$，低于该阈值的具有此边界的曲面是嵌入的。经过轻微修正，可获得另一个阈值 $C_{\mathrm{LY}}^{\mathrm{rot}}$，低于该阈值的满足边界数据的旋转曲面在旋转轴上无自交点。利用这一修正后的 Li-Yau 不等式和几何测度论工具，通过新的论证，我们证明了：若初始数据的能量低于 $C_{\mathrm{LY}}^{\mathrm{rot}}$，则始于圆柱旋转曲面且具有 Dirichlet 边界数据的 Willmore 流在时间上全局存在。此外，给定 Dirichlet 边界数据，若相应的下确界低于 $C_{\mathrm{LY}}^{\mathrm{rot}}$，我们还在圆柱旋转曲面类中获得了 Willmore 极小化子的存在性，这改进了关于稳态问题的先前结果。