具有平方可积平均曲率的积分2-变分流形的整体正则性

我们给出了一个积分$2$-变分流形由光滑曲面的$W^{2,2}$-共形浸入诱导的尖锐充分判据。我们的方法基于对具有平均曲率临界可积性的$2$-变分流形的Hausdorff密度的精细分析，以及Bi-Zhou最近的一个局部正则性结果。在余维数为1时，只有三个可能的密度值小于2，每个都可以通过单位球面、双气泡和三气泡在Willmore泛函的Li-Yau不等式中取等达到。我们证明，在Willmore能量的最优阈值以下，由无边界流诱导的变分流形实际上是一个曲率变分流形，其第二基本形式具有一致界。因此，在具有指定偶Euler示性数的曲率变分流形类中最小化Willmore泛函，为Willmore问题提供了光滑解。特别地，“环境”变分流形方法和“参数”方法在最小化Willmore能量方面是等价的。