Cartan-Hadamard 流形中任意余维数曲面的优化等周不等式

设 $(M^n,g)$ 为单连通、完备且截面曲率非正的流形，$\Sigma$ 为 $M$ 中具有紧支集的二维闭积分电流（或模 2 平坦链）。令 $S$ 为面积极小化积分 3-电流（相应地，模 2 平坦链），使得 $\partial S = \Sigma$。我们利用通过椭圆正则化得到的弱平均曲率流，从 $\Sigma$ 出发，证明 $S$ 满足最优的欧氏等周不等式：$6 \sqrt{\pi}\, \mathbf{M}[S] \leq (\mathbf{M}[\Sigma])^{3/2}$。在 $M$ 的截面曲率由上界 $-\kappa < 0$ 界定时，我们也得到了一个最优估计，并刻画了等号成立的情形。证明源于适当等周差在高一维逼近流上的几乎单调性，以及对具有 $L^2$ 可积一阶变分的二维积分 varifold 的 Willmore 能量的一个最优估计。