局部共形平坦四维超球面的体积

设 $M$ 为截面曲率 $Sec_M\in[0,1]$ 的 5 维黎曼流形，$\Sigma$ 为 $M$ 中平均曲率 $H$ 的局部共形平坦超球面。我们证明存在 $\varepsilon_0>0$，使得当 $H \le \varepsilon_0$ 时，$\int_\Sigma (1+H^2)^2 \ge 8\pi^2/3$。特别地，若 $\Sigma$ 是 $M$ 中局部共形平坦极小超球面，则 $Vol(\Sigma) \ge 8\pi^2/3$，这部分回答了 Mazet 和 Rosenberg \cite{Ma&Rosen} 提出的一个问题。对于 $(n+1)$ 维旋转对称黎曼流形 $M$，我们证明浸入超曲面 $\Sigma$ 局部共形平坦当且仅当 $\Sigma$ 的 $(n-1)$ 个主曲率相同，这是 Cartan 结果 \cite{Cartan} 的推广。作为应用，我们证明若 $M$ 是截面曲率 $Sec_M\in [0,1]$ 的旋转对称 5 维流形（某特殊但广泛的类），且 $\Sigma$ 是平均曲率 $H$ 的局部共形平坦超球面，则不等式 $\int_\Sigma (1+H^2)^2 \ge 8\pi^2/3$ 对所有 $H$ 成立。