关于面积为 $4\pi$ 的极小球面与刚性

设 $M$ 为一个截面曲率介于 $0$ 和 $1$ 之间的完备黎曼 $3$-流形。浸入 $M$ 中的极小 $2$-球面的面积至少为 $4\pi$。如果一个嵌入的极小球面面积为 $4\pi$，那么 $M$ 等距同构于单位 $3$-球面，或等距同构于单位 $2$-球面与 $\mathbb{R}$ 的乘积商空间（配备乘积度量）。我们还获得了关于双曲尖点存在性的刚性定理。设 $M$ 为一个截面曲率以 $-1$ 为上界的完备黎曼 $3$-流形。假设存在一个嵌入 $M$ 中的 $2$-环面 $T$，其平均曲率为 $1$。那么由 $T$ 界定的 $M$ 的平均凸分量是一个双曲尖点；即，它等距同构于配备常曲率 $-1$ 度量 $e^{-2t}d\sigma_0^2+dt^2$ 的 $T \times \mathbb{R}$，其中 $d\sigma_0^2$ 是 $T$ 上的平坦度量。