最小面积极小超曲面的嵌入性

E. Calabi 与 J. Cao 证明，具有非负曲率的二维球面上长度最短的闭测地线总是简单的。利用极小极大理论，我们证明了在更高维度下，该结果无需曲率假设也成立。更确切地说，在 $2 \leq n \leq 6$ 的闭 $(n+1)$-流形中，存在最小面积的闭极小超曲面，且任一此类超曲面都是嵌入的。作为一个应用，我们简短证明了如下事实：若闭三维流形 $M$ 的标量曲率至少为 $6$ 且不与标准三维球面等距，则 $M$ 包含一个面积小于 $4\pi$ 的嵌入闭极小曲面。这证实了 F. C. Marques 与 A. Neves 的一个猜想。