齐性空间中真极小子流形的嵌入性

我们证明了以下三个嵌入性结果。$({\rm i})$ 设 $\Gamma_{2m+1}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中一条具有 $2m+1$ 个顶点的分段测地线若尔当曲线，其中 $m$ 是整数 $\geq2$。则 $\Gamma_{2m+1}$ 的总曲率 $<2m\pi$。特别地，$\Gamma_5$ 的总曲率 $<4\pi$，因此任何以 $\Gamma_5$ 为边界的极小曲面 $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ 是嵌入的。设 $\Gamma_5$ 是 $\mathbb{H}^n$ 中一条具有 $5$ 个顶点的分段测地线若尔当曲线。则任何以 $\Gamma_5$ 为边界的极小曲面 $\Sigma \subset \mathbb{H}^n$ 是嵌入的。如果 $\Gamma_5$ 位于 $\mathbb{S}^n_+$ 中半径为 $\frac{\pi}{4}$ 的测地球内，则 $\Sigma \subset \mathbb{S}^n_+$ 也是嵌入的。作为推论，$\Gamma_5$ 在 $\mathbb{R}^3$、$\mathbb{H}^3$ 和 $\mathbb{S}^3_+$ 中是一个平凡纽结。$({\rm ii})$ 设 $\Sigma$ 是 $\mathbb{H}^n$ 中一个 $m$ 维真极小流形，其理想边界 $\partial_{\infty} \Sigma = \Gamma$ 位于无穷远球面 $\mathbb{S}^{n-1}=\partial_\infty \mathbb{H}^n$ 中。如果 $\Gamma$ 的莫比乌斯体积 $\widetilde{\vol}(\Gamma) < 2\vol(\mathbb{S}^{m-1})$，则 $\Sigma$ 是嵌入的。如果 $\widetilde{\vol}(\Gamma) = 2\vol(\mathbb{S}^{m-1})$，则除非 $\Sigma$ 是一个锥面，否则它是嵌入的。$({\rm iii})$ 设 $\Sigma$ 是 $\hr$ 中一个真极小曲面。如果 $\Sigma$ 在无穷远处是垂直正则的且具有两个端，则 $\Sigma$ 是嵌入的。