3-球中嵌入曲面的亏格估计

通过改进Heintze和Karcher的体积估计\cite{HK}，我们得到了 $\mathbb S^{3}$ 中曲面亏格的一个尖锐夹挤估计，其涉及该曲面无迹第二基本形式范数的积分。更具体地，我们证明：若 $g$ 是三维可定向黎曼流形 $M$ 中闭可定向曲面 $\Sigma$ 的亏格，且 $M$ 的截面曲率下界为 $1$，则 $4 \pi^{2} g(\Sigma) \le 2\left(2 \pi^{2}-|M|\right)+\int_{\Sigma} f(|\stackrel \circ A|)$，其中 $\stackrel \circ A$ 为无迹第二基本形式，$f$ 为一个显式函数。由此，具有一致有界 $\|A\|_{L^3(\Sigma)}$ 的闭可定向嵌入极小曲面 $\Sigma$ 的空间在 $C^k$ 拓扑下对任意 $k\ge2$ 是紧的。