三维流形中面积最小化双曲曲面的刚性

我们证明，如果$M$是一个标量曲率大于或等于-2的三维流形，且$\Sigma\subset M$是一个亏格大于1的双侧紧致嵌入黎曼曲面，并且是局部面积最小化的，那么$\Sigma$的面积大于或等于$4\pi(g(\Sigma)-1)$，其中$g(\Sigma)$表示$\Sigma$的亏格。在等式成立的情况下，我们证明$\Sigma$上的诱导度量具有等于-1的常数高斯曲率，并且$M$沿$\Sigma$局部分裂。作为推论，我们得到了柱面$(I\times\Sigma,dt^2+g_{\Sigma})$的刚性结果，其中$I=[a,b]\subset\mathbb{R}$，且$g_{\Sigma}$是$\Sigma$上具有等于-1的常数高斯曲率的黎曼度量。