宏观标量曲率与循环的面积

在本文中，我们证明如下结论。设 $\Sigma$ 为一个 $n$ 维闭双曲流形，且 $g$ 为 $\Sigma \times \mathbb{S}^1$ 上的一个黎曼度量。给定黎曼通用覆盖 $(\widetilde{\Sigma\times \mathbb{S}^1},\widetilde{g})$ 中单位球体积的上界，我们得到 $\Sigma \times \mathbb{S}^1$ 上 $\mathbb{Z}_2$ 同调类 $[\Sigma \times \ast]$ 的面积的一个下界，该下界与 $\Sigma$ 的双曲面积成正比。该定理基于 Guth 的一个定理，并且类似于 Kronheimer 和 Mrowka 涉及标量曲率的一个定理。