大单纯体积下万有覆盖中的增长

考虑一个闭流形$M$上的两个黎曼度量：一个双曲度量，以及另一个度量$g$。关于$g$的什么假设能保证对于给定半径$r$，在$(M,g)$的万有覆盖中存在半径$r$的球，其体积大于双曲体积？我们证明，如果$(\mathrm{Vol} (M, g))^2$小于$M$的双曲体积乘以一个小常数，那么该结论对所有$r \geq 1$成立。这加强了Sabourau的一个定理，并且是对Guth猜想的部分进展。