大亏格黎曼曲面的模空间

令 $\mathcal{M}_{g,\epsilon}$ 为亏格 $g$ 闭曲面模空间 $\mathcal{M}_g$ 的 $\epsilon$-厚部分。在本文中，我们证明覆盖 $\mathcal{M}_{g,\epsilon}$ 所需半径为 $r$ 的球的数量下界为 $(c_1g)^{2g}$，上界为 $(c_2g)^{2g}$，其中常数 $c_1,c_2$ 仅依赖于 $\epsilon$ 和 $r$，特别是不依赖于 $g$。利用这一计数结果，我们证明存在具有任意大单射半径的黎曼曲面，它们（在 Teichmüller 度量下）不接近某个固定闭黎曼曲面的有限覆盖。这一结果说明了埃伦普赖斯猜想的精确性。