模空间 Weil-Petersson 直径的增长

在本文中，我们研究了 $\overline{\mathcal{M}_{g,n}}$ 的 Weil-Petersson 几何，即具有亏格 g 和 n 个标记点的黎曼曲面的紧化模空间。本文的主要目标是理解 $\overline{\mathcal{M}_{g,n}}$ 的直径作为 $g$ 和 $n$ 的函数的增长情况。我们证明了该直径在 $n$ 上的增长为 $\sqrt{n}$，在 $g$ 上的增长以 $C \sqrt{g}\log g$ 为上界，其中 $C$ 为某个常数。我们还利用一个辅助函数给出了 $\overline{\mathcal{M}_{g,n}}$ 直径在 $g$ 上增长的下界，该辅助函数衡量了模空间厚部容许径向坐标的程度。