有限指标分支极小曲面的几何

给定 $I,B\in\mathbb{N}\cup \{0\}$, 我们研究 $\mathbb{R}^3$ 中具有至多 $I$ 的 Morse 指标和至多 $B$ 的总分支阶数的完备有限分支极小曲面 $M$ 的存在性与几何。Fischer-Colbrie 和 Ros 的先前工作说明, 此类曲面恰为 $\mathbb{R}^3$ 中具有有限总曲率和有限总分支阶数的完备极小曲面。除其他结果外, 我们针对这样的 $M$ 导出了尺度不变的弱弦弧型结果, 其估计由 $I$ 和 $B$ 给出。为了获得关于这些特殊曲面的一些主要结果, 我们得到了 $n$ 维黎曼流形 $X$ 的 $m$ 维子流形 $\Sigma$ 的面积公式的一般内在单调性, 其中这些面积估计依赖于 $X$ 的几何以及 $\Sigma$ 的平均曲率向量长度的上界。我们还描述了一族 $\mathbb{R}^3$ 中稳定且不可定向的完备有限分支极小曲面; 这些例子推广了经典的 Henneberg 极小曲面。