稠密地位于 $\mathbb{R}^n$ 任意区域中的完备极小曲面

本文证明了，给定一个开黎曼曲面 $M$ 和一个整数 $n\ge 3$，满足 $\overline{X(M)}=\mathbb{R}^n$ 的完备共形极小浸入 $M\to\mathbb{R}^n$ 的集合，在所有共形极小浸入 $M\to\mathbb{R}^n$ 的空间中（赋予紧开拓扑）构成一个稠密子集。此外，我们证明了 $\mathbb{R}^n$ 中的每个区域都包含在其上稠密且具有任意可定向拓扑（可能无穷）的完备极小曲面；我们还提供了其复结构为任意给定带边黎曼曲面的此类曲面。我们的证明方法可加以调整，以给出关于 $\mathbb{R}^n$ $(n\ge 3)$ 中不可定向极小曲面、$\mathbb{C}^n$ $(n\ge 2)$ 中复曲线、$\mathbb{C}^n$ $(n\ge 3)$ 中全纯零曲线以及 $\mathbb{C}^{2n+1}$ $(n\in\mathbb{N})$ 中全纯 Legendrian 曲线的类似结果。