有限总曲率的完备极小曲面的插值性与最优击中

我们证明，给定紧 Riemann 曲面 $\Sigma$ 与互不相交的有限集 $\varnothing\neq E\subset\Sigma$ 和 $\Lambda\subset\Sigma$，每个映射 $\Lambda \to \mathbb{R}^3$ 都可扩张为具有有限总曲率的完备共形极小浸入 $\Sigma\setminus E\to \mathbb{R}^3$。该结果为在 $\mathbb{R}^3$ 中具有有限总曲率的完备极小曲面框架下研究最优击中问题打开了大门。对此，对每个整数 $r\ge 1$，我们提供集合 $A\subset\mathbb{R}^3$，其由仿射平面中的 $12r+3$ 个点组成，使得若 $A$ 包含于完备非平坦可定向浸入极小曲面 $X\colon M\to\mathbb{R}^3$ 中，则 $X$ 的总曲率绝对值大于 $4\pi r$。