有限指标常平均曲率曲面的几何

给定 $r_0>0$、$I\in \mathbb{N}\cup \{0\}$ 和 $K_0,H_0\geq 0$，令 $X$ 为完备黎曼 $3$-流形，其注入半径 $\mbox{Inj}(X)\geq r_0$ 且绝对截面曲率的上确界至多为 $K_0$，并令 $M\looparrowright X$ 为常平均曲率 $H\in [0,H_0]$ 且指标至多为 $I$ 的完备浸入曲面。作为 [9] 中层级结构定理的结果，我们将获得此类 $M\looparrowright X$ 的几何估计。层级结构定理（见下文定理 2.2）将用于理解 $M\looparrowright X$ 的整体性质，特别是与 $M$ 的面积和直径相关的结果。由定理 2.2 的条目 E，此类非紧致 $M\looparrowright X$ 的面积为无穷。我们将在 $M$ 连通时通过证明以下结果改进该面积结论；此处 $g(M)$ 表示 $M$ 的可定向覆盖的亏格：1. 存在 $C_1=C_1(I,r_0,K_0,H_0)>0$ 使得 Area$(M)\geq C_1(g(M)+1)$。2. 存在独立于 $r_0,K_0,H_0$ 的 $C>0,G(I)\in \mathbb{N}$ 以及同样独立于 $I$ 的 $C$，使得若 $g(M)\geq G(I)$，则 Area$(M)\geq \frac{C}{(\max\{1,\frac{1}{r_0},\sqrt{K_0}, H_0\})^2}(g(M)+1)$。3. 若 $X$ 的标量曲率 $\rho$ 在 $X$ 中满足对某个 $c>0$ 有 $3H^2+\frac{1}{2}\rho\geq c$，则存在依赖于 $c,I,r_0,K_0,H_0$ 的 $A,D>0$ 使得 Area$(M)\leq A$ 且 Diameter$(M)\leq D$。因此 $M$ 为紧致，且由条目 1 有 $g(M)\leq A/C -1$。