某些非紧流形中的指定平均曲率极小极大理论

本文发展了一种在特定非紧流形中应用单参数指定平均曲率极小极大理论的技术。我们给出两个主要应用。首先，固定维数 $3\le n+1 \le 7$，并考虑光滑函数 $h\colon \mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$，其在无穷远处渐近于正常数。我们证明，在对 $h$ 的某些附加假设下，存在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中平均曲率由 $h$ 指定的闭超曲面 $\Sigma$。其次，设 $(M^3,g)$ 为渐近平坦的三维流形并固定常数 $c > 0$。我们证明，在对 $M$ 的附加假设下，可在 $M$ 中找到常平均曲率 $c$ 的闭曲面 $\Sigma$。