通过全局曲率的$p$可积性刻画$W^{2,p}$子流形

我们给出了充分且必要的几何条件，保证一个$C^1$类、任意维数和余维数的浸入紧闭流形$\Sigma^m\subset \R^n$（更一般地，一个满足关于$\Sigma$中孔洞大小与用beta数测量的$\Sigma$平坦度之间关系的温和一般条件的Ahlfors正则紧集$\Sigma$）实际上是一个$C^{1,\tau}\cap W^{2,p}$类嵌入流形，其中$p>m$且$\tau=1-m/p$。结果基于对积分曲率型能量的Morrey估计的仔细分析，其中被积函数以几何方式表达，使用设计用于测量(a)顶点在$\Sigma$上的单形的形状或(b)在$\Sigma$上一点相切并经过$\Sigma$上另一点的球面的大小的函数。适当定义的此类被积函数的\textit{极大函数}属于$L^p(\Sigma)$类（$p>m$）当且仅当$\Sigma$的局部图表示具有$L^p$中的二阶导数且$\Sigma$是嵌入的。这一结果背后有两个要素。其一是Sobolev空间的一个等价定义，目前在度量空间分析中广泛使用。其二是对具有有限曲率能量的集合的局部Reifenberg平坦性（以及测量该平坦性的函数的衰减）的仔细分析。此外，对于涉及切球的几何曲率能量，我们给出了一个非平凡的下界，该下界当且仅当允许集$\Sigma$是一个圆球时达到。