双曲3-流形中的熵、临界指数与浸入曲面

我们考虑一个从紧致曲面$\Sigma$到双曲3-流形$M$的$\pi_{1}$--单射浸入$f:\Sigma\to M$。令$\Gamma$表示由该浸入诱导的$\pi_{1}\Sigma$在$\mathrm{Isom}({\mathbb{H}}^{3})$中的副本，$\delta(\Gamma)$为临界指数。假设$\Gamma$是凸余紧的且$\Sigma$具有负曲率，我们证明存在两个不大于$1$的几何常数$C_{1}(\Sigma,M)$和$C_{2}(\Sigma,M)$，使得$C_{1}(\Sigma,M)\cdot\delta_{\Gamma}\leq h(\Sigma)\leq C_{2}(\Sigma,M)\cdot\delta_{\Gamma}$，其中$h(\Sigma)$是测地流在$\Sigma$上的拓扑熵。当$f$是嵌入时，我们证明$C_{1}(\Sigma,M)$和$C_{2}(\Sigma,M)$恰好是关于某些Gibbs测度的测地拉伸（又名Thurston交集数）。此外，我们证明了由该不等式产生的刚性现象。最后，作为应用，我们讨论双曲3-流形中的浸入极小曲面，这些讨论使我们获得了类似于A. Sanders关于C. Taubes引入的$\Sigma$模空间的工作的结果。