关于双曲3-流形的2-收缩量

我们研究了闭双曲3-流形中 $\pi_1$-注入曲面的几何。首先我们证明，对于任意 $e>0$，若流形 $M$ 具有足够大的收缩量 $\sys_1(M)$，则 $M$ 中任何此类曲面的亏格下界为 $\exp((1/2-e)\sys_1(M))$。利用此结果，我们特别证明，对于紧致算术双曲3-流形的同余覆盖 $M_i\to M$，有：(a) $\pi_1$-注入曲面的极小亏格满足 $\log \sysg(M_i) \gtrsim (1/3)\log\vol(M_i)$；(b) 存在这样的序列，其 Heegaard 亏格$(M_i)/\sysg(M_i)$ 之比 $\gtrsim \vol(M_i)^{1/2}$；以及 (c) 在一些附加假设下，$\pi_1(M_i)$ 是 k-自由的，且 $\log k \gtrsim (1/3)\sys_1(M_i)$。后者解决了 M. Gromov 猜想的一个特殊情形。